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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires Dans le chapitre « L'équation de Korteweg et de Vries »: […] En 1865, Scott Russell observa sur un canal rectiligne une onde de surface créée par le choc de deux péniches, qu'il appela onde solitaire; il fut frappé par la stabilité du phénomène et raconte qu'il put la suivre à cheval, à vitesse constante, pendant plusieurs kilomètres. Pour expliquer ce phénomène, dit de soliton, on peut utiliser un système de deux équations à une dimension d'espace: dans […] […] Lire la suite DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS Écrit par Marcel DAVID • 4 514 mots Dans le chapitre « Approximations des irrationnels algébriques »: […] On dit qu'un irrationnel τ est rationnellement approchable à l'ordre α s'il existe une constante dépendant de τ, soit K(τ), telle que: ait une infinité de solutions. On voit sans peine qu'un rationnel u / v est approchable à l'ordre 1 et pas au-delà. Théorème de Liouville — Wikipédia. D'autre part, les propriétés des fractions continuées montrent que tout irrationnel est approchable à l'ordre 2 au moins et qu'un irrationnel quadr […] […] FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe Jean-Luc VERLEY • 12 743 mots • 9 médias Dans le chapitre « Les inégalités de Cauchy »: […] Soit f une fonction analytique dans un disque D(0, R); la fonction f ( z) est donc somme dans D(0, R) d'une série entière dont les coefficients a n sont donnés par la formule (10).
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La démonstration repose sur le fait que la divergence de cette « vitesse » dans l'espace des phases est nulle, en effet:, en utilisant les équations canoniques de Hamilton et il vient. Finalement, l'équation de conservation de s'écrit. Il ne reste alors plus qu'à développer le terme ce qui donne, on reconnait finalement dans le terme de gauche l'expression de. On peut utiliser les équations canoniques de Hamilton en les remplaçant dans l'équation précédente:, on obtient le résultat, où désigne les crochets de Poisson. En mécanique quantique [ modifier | modifier le code] D'après le principe de correspondance, on peut rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique: d'où on déduit: Ici, est l' opérateur hamiltonien et la matrice densité. Théorème de liouville 3. Parfois cette équation est aussi nommée l'équation de Von Neumann.
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46, n o 9, 1999, p. 1041-1049 ( Math Reviews 1710665, lire en ligne) (en) Maxwell Rosenlicht, « Liouville's Theorem on Functions with Elementary integral », Pacific J. 24, 1968, p. 153-161 (lire en ligne) (en) Marius van der Put (de) et Michael F. Singer, Galois theory of linear differential equations, Springer-Verlag, coll. « Grund. Wiss. Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass — Wikiversité. » ( n o 328), 2003, 438 p. ( ISBN 978-3-540-44228-8, Math Reviews 1960772, lire en ligne) Voir aussi Lien externe Des exemples plus détaillés et une démonstration du théorème Article connexe Algorithme de Risch Portail de l'analyse
Fonctions elliptiques Il est aussi utilisé pour établir qu'une fonction elliptique sans pôles est forcément constante; c'est d'ailleurs cela que Liouville avait primitivement établi. Notes et références ↑ Boris Chabat, Introduction à l'analyse complexe, Tome I Fonctions d'une variable, 1990, Éditions Mir, p. 104. ↑ Voir par exemple la preuve donnée dans Rudin, p. Théorème de liouville si. 254, quelque peu différente. Portail de l'analyse